Question

12．关于平面向量，有下列四个命题：
①若$\vec a•\vec b=\vec b•\vec c，则\vec a=\vec c$．
②$\vec a$=（1，1），$\vec b$=（2，x），若$\vec a+\vec b$与$4\vec b-2\vec a$平行，则x=2．
③非零向量$\vec a$和$\vec b$满足|$\vec a}$|=|${\vec b}$|=|${\vec a-\vec b}$|，则$\vec a$与$\vec a+\vec b$的夹角为60°．
④点A（1，3），B（4，-1），与向量$\overrightarrow{AB}$同方向的单位向量为（$\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}$）．
其中真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 运用向量数量积的定义，即可判断①错；
运用向量共线的坐标表示，解方程可得x=2，即可判断②正确；
运用向量加法的平行四边形法则，结合向量的夹角，即可判断③错；
运用向量的坐标，以及单位向量的求法，即可判断④正确．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，即有$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$），故①错；
②$\vec a$=（1，1），$\vec b$=（2，x），若$\vec a+\vec b$与$4\vec b-2\vec a$平行，即有（3，x+1）∥（6，4x-2），
可得3（4x-2）=6（x+1），解得x=2．故②正确；
③非零向量$\vec a$和$\vec b$满足|$\vec a}$|=|${\vec b}$|=|${\vec a-\vec b}$|，以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为边对应的四边形为一个角是60°的菱形，
则$\vec a$与$\vec a+\vec b$的夹角为30°．故③错；
④点A（1，3），B（4，-1），$\overrightarrow{AB}$=（3，-4），可得与向量$\overrightarrow{AB}$同方向的单位向量为
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}$）．故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查向量共线和垂直的条件，以及向量数量积的性质，考查运算能力，属于基础题和易错题．