Question

15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，OB=4，设∠AOB=θ，θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（1）用θ表示点B和点A的坐标；
（2）若tanθ=-2，求，△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义，得点B的坐标，再利用正弦定理求出|OA|与点A的坐标；
（2）求出△AOB的面积S，再利用同角的三角函数关系求出它的值．

解答 解：（1）根据三角函数的定义，得点B的坐标为（4cosθ，4sinθ），
在△AOB中，|OB|=4，∠BAO=$\frac{π}{4}$，∠B=$\frac{3π}{4}$-θ
由正弦定理，得$\frac{|OB|}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{|OA|}{sinB}$，
即$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{|OA|}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$，
所以|OA|=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），
∴A（4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），0）；
（2）tanθ=-2，△AOB的面积为
S=$\frac{1}{2}$|OA|×|y_B|
=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）•4sinθ
=8$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）sinθ
=8（sinθcosθ+sin²θ）
=8×$\frac{sinθcosθ{+sin}^{2}θ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$
=8×$\frac{tanθ{+tan}^{2}θ}{{tan}^{2}θ+1}$
=8×$\frac{-2+4}{4+1}$
=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了三角函数的定义，正弦定理以及同角的三角函数关系式的应用问题，也考查了分析解决问题的能力，是综合性题目．