Question

3．若数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有2a_n-S_n=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（-1）ⁿ•$\frac{2n+3}{{{log}_{2}a}_{n}{{•log}_{2}a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、分类讨论方法即可得出．

解答 解：（1）∵对任意正整数n都有2a_n-S_n=4，
∴2a₁-a₁=4，解得a₁=4；
当n≥2时，2a_n-1-S_n-1=4，可得：2a_n-2a_n-1-a_n=0，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，
∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）b_n=（-1）ⁿ•$\frac{2n+3}{{{log}_{2}a}_{n}{{•log}_{2}a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$•\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴当n=2k（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k=$-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…+$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$=$\frac{-n}{2n+4}$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k-1=$-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…-$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=-$\frac{n+4}{2n+4}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-n}{2n+4}，n为偶数}\\{-\frac{n+4}{2n+4}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．