Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），当n=1时，a₁=S₁=2a₁-$\frac{3}{2}$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2$（{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=S₁=2a₁-$\frac{3}{2}$，解得a₁=$\frac{3}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{3}{{2}^{n}}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{3}{{2}^{n-1}}）$，
化为：a_n=2a_n-1$-\frac{3}{{2}^{n}}$，
变形为：a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2$（{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}\}$是等比数列，首项为1，公比为2，
∴a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$=2^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2^n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．