Question

5．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：
（1）$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{BC}$；
（2）$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BC}$，即可发现$\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{BC}$的倍数关系；
（2）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CD}$即可得出结论．

解答 证明：（1）∵D，F分别是AB，AC的中点，∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$．
∴$\overrightarrow{DF}∥\overrightarrow{BC}$．
（2）∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$．
∴$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．