Question

4．设直线l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），则直线l₁恒过定点（2，2）；若过原点作直线l₂∥l₁，则当直线l₁与l₂的距离最大时，直线l₂的方程为x+y=0．

Answer 1

分析 直线l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），化为：m（x-y）+（x+3y-8）=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y-8=0}\end{array}\right.$，解出可得直线l₁恒过定点（2，2）．过原点作直线l₂∥l₁，可设l₂方程为：（m+1）x-（m-3）y=0，经过两点（0，0）与（2，2）的直线方程为：y=x．则当直线l₁与l₂的距离最大时，l₂与直线y=x垂直．即可得出．

解答 解：∵直线l₁：（m+1）x-（m-3）y-8=0（m∈R），化为：m（x-y）+（x+3y-8）=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+3y-8=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，
则直线l₁恒过定点（2，2）．
过原点作直线l₂∥l₁，可设l₂方程为：（m+1）x-（m-3）y=0，
则经过两点（0，0）与（2，2）的直线方程为：y=x．
则当直线l₁与l₂的距离最大时，l₂与直线y=x垂直．
直线l₂的方程为x+y=0．
故答案分别为：（2，2）；x+y=0．

点评 本题考查了相互平行与相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．