【题目】已知函数有极值,且在
处的切线与直线
垂直.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得函数
的极小值为
.若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在实数
,使得函数
的极小值为
.
【解析】试题分析:(1),因为在
处的切线与直线
垂直,所以
,得
与
的关系
。因为 函数
有极值,故方程
有两个不等实根,其判别式大于0,结合
,可求实数
的取值范围;(2)根据导函数的正负,求函数的极小值、极小值点,令极小值等于2,求得极值点,进而求实数
的值。
试题解析:(1)∵,∴
,
由题意,得,∴
.①
∵有极值,故方程
有两个不等实根,
∴,∴
.②
由①②可得,
或
.
故实数的取僮范围是
.
(2)存在.
∵.令
,
.
,
随
值的变化情况如下表:
+ | - | + | |||
↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
∴,∴
或
.
若,即
,则
(舍).
若,又
,∴
,∴
,
∵,∴
,∴
,∴
.
∴存在实数,使得函数
的极小值为
.
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【题目】(2017·泰安模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为AD的中点,F为B1C1的中点.
(1)求证:A1F∥平面ECC1;
(2)在CD上是否存在一点G,使BG⊥平面ECC1?若存在,请确定点G的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的极坐标方程为:
.若以极点
为原点,极轴所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点是圆
上动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标.
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【题目】椭圆:
的离心率为
,过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,右顶点为
,点
是椭圆上的动点,且点
与点
,
不重合,直线
与直线
相交于点
,直线
与直线
相交于点
,求证:以线段
为直径的圆恒过定点.
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【题目】已知函数有极值,且在
处的切线与直线
垂直.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得函数
的极小值为
.若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且
过点
,曲线
的参考方程为
(
为参数).
(1)求曲线上的点到直线
的距离的最大值与最小值;
(2)过点与直线
平行的直线
与曲
线交于
两点,求
的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆
的方程为
.
(1)写出直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与圆
相交于
两点,求
的值.
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【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,点
在抛物线
上,已知以点
为圆心,
为半径的圆
交
于
两点.
(Ⅰ)若,
的面积为4,求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若三点在同一条直线
上,直线
与
平行,且
与抛物线
只有一个公共点,求直线
的方程.
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