Question

7．若数列{a_n}对任意的正整数n和m等式a_n+m²=a_n×a_n+2m都成立，则称数列{a_n}为m阶梯等比数列，若{a_n}是3阶梯等比数列有a₁=1，a₄=2，则a₁₀=8．

Answer 1

分析 根据题意列出等比关系式，直接计算即可．

解答 解：数列{a_n}对任意的正整数n和m等式a_n+m²=a_n×a_n+2m都成立，则称数列{a_n}为m阶梯等比数列，若{a_n}是3阶梯等比数列，可得a_n+3²=a_n×a_n+6．
可得
$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=2．
故$\frac{{a}_{10}}{{a}_{7}}$=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=2，
所以a₁₀=2a₇=2（2a₄）=4a₄=8．
故答案为：8．

点评 本题考查递归数列知识，理解“阶梯比”的实质是解题的关键，属基础题．