Question

19．已知函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-abc，a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c）=0，现有四个结论：
①f（1）f（0）＞0；②f（1）f（0）＜0；③f（2）f（0）＜0；④f（2）f（0）＞0
正确的结论是（　　）

• A． ②④
• B． ①③
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 根据f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，判断出f（0）、f（2）的符号得答案．

解答 解：求导函数可得f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞2时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）单调递减区间为（1，2），
则f（x）极大值=f（1）=1-$\frac{9}{2}$+6-abc=$\frac{5}{2}$-abc，
f（x）极小值=f（2）=8-18+12-abc=2-abc，
要使f（x）=0有三个解a、b、c，则：a＜1＜b＜2＜c，
即函数有个零点x=b在1～2之间，
∴f（1）=$\frac{5}{2}$-abc＞0，且f（2）=2-abc＜0，
∴2＜abc＜$\frac{5}{2}$，
∵f（0）=-abc，
∴f（0）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（2）＞0，
∴正确的结论是②④．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点、极值点，解不等式，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．