Question

10．定义在R上的偶函数f（x），对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-1，3]内关于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（2，4）．

Answer 1

分析 由题意可得出函数是周期为2的偶函数且x∈（-1，1）时，f（x）=2^|x|-1，方程f（x）-log_a（x+1）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log_a（x+1）的图象的交点个数，利用f（1）=f（3）=1，关于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0恰有3个不同的实数根，可得log_a（1+1）＜1且log_a（3+1）＞1，即可得出答案．

解答 解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴x∈[-1，1]时，f（x）=2^|x|-1，
又对任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），则f（x）=f（x+2），故周期是2，
方程f（x）-log_a（x+1）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log_a（x+1）的图象的交点个数，
由f（1）=f（3）=1，关于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0恰有3个不同的实数根，
可得log_a（1+1）＜1且log_a（3+1）＞1，
∴2＜a＜4．
故答案为：（2，4）．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，函数的周期性与偶函数的性质，属于中档题．