Question

11．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，且AB=4，SA=3．
（1）求证：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），当∠AFE=90°时，求$\frac{SF}{FB}$的值．

Answer 1

分析 （1）通过平面SAB内的直线BC垂直平面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明：平面SBC⊥平面SAB．
（2）推导出AF⊥EF，BC⊥AF，AF⊥BS，分别求出SF，FB，由此能求出$\frac{SF}{FB}$．

解答 证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∵SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SAB，∴平面SBC⊥平面SAB．
解：（2）∵∠AFE=90°，∴AF⊥EF，
由（1）可知，BC⊥平面SAB，
∵AF?平面SAB，∴BC⊥AF，
∵EF∩BC=E，EF?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BS，
在Rt△SAB中，AB=4，SA=3，∴BS=5，∴SF=$\frac{S{A}^{2}}{BS}$=$\frac{9}{5}$，
∴FB=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴$\frac{SF}{FB}$=$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．