Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{2a-c}{b}$=$\frac{cosC}{cosB}$，b=4，则a+c的最大值为8．

Answer 1

分析 由已知式子和正弦定理可得B=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得ac≤16，即可求得a+c的最大值．

解答 解：∵在△ABC中$\frac{2a-c}{b}$=$\frac{cosC}{cosB}$，
∴（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
约掉sinA可得cosB=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得16=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac，
∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，可得：（a+c）²=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．