Question

已知y=f（x）是定义域为的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，则不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：此题关键是找出可行域，已知y=f（x）是定义域为的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），说明f（x）在x=2处取得极小值，若f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3，画出可行域，根据线性规划问题进行求解；
解答：解：∵y=f（x）是定义域为的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
说明f（x）在（，2）为减函数，在（2，+∞）为增函数，在x=2取得极小值，
因为f（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
结合-2≤x-2y≤②画出满足条件①②的可行域可得：

可知直线x-2y+2=0与2x+y=1、2x+y=3垂直，
所表示的平面区域是一个长方形，边长等于点（0，1）到直线2x+y=3的距离：d=，
另一条边等于：=
所以面积S=×=1，
故选D；
点评：此题是一道线性规划问题，利用导数研究函数的单调性，找出可行域，是解决此题的关键，此题是一道好题！