Question

已知抛物线的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P,Q且.

（I）求点T的横坐标；

（II）若以F1,F2为焦点的椭圆C过点.

①求椭圆C的标准方程；

②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.

 

Answer 1

（I）；（II）①，②

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得，，设，，由已知得到关于的一个方程；又点在抛物线上得方程，联立方程解得；（II）①由已知得椭圆的半焦距，设椭圆的标准方程为，由椭圆过点可得，又即，从而解得，；②容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程得，设，利用根与系数的关系得，，因为，所以，且将和平方除以积化简得，将所求的模平方通过坐标运算转化为关于k 的函数，解得。

试题解析：（Ⅰ）由题意得，，设，，

则，.

由，得即，①

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得

（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，则 ③

④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为

（ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为，

将直线的方程代入中得：

设，则由根与系数的关系，

可得： ⑤

⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以。

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，所以 所以，即，

所以.

而，所以.

所以.

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，

又，所以

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，

⑤

⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得

因为，

所以，

又，

故

令，因为 所以，即，

所以.

所以

综上所述：.

考点：圆锥曲线定义与性质以及平面解释几何的综合应用。