Question

【题目】已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

解法一：把方程有四个实数根，转化为函数与图像有四个不同的交点．分别求得当时，函数单调性与极值和当时，函数单调性与极值，作出图象，结合图象即可求解；

解法二：由方程等价于，转化为与图像有四个交点，令，分别求得当和时，函数的单调性与极值，结合图象，即可求解．

解法一：方程有四个实数根，

等价于与图像有四个不同的交点．

当时， 解得．

当， 单调递增，

当时， 单调递减，所以极大值为

当时，当时，

当时，，解得（舍正），

当时， 单调递增，

当时， 单调递减，所以极大值为

当时，当时，

作出函数的草图，如图：

①若 与不可能有四个交点；

②若 与有三个交点；

③若当与相切时，

设切点为则，即

解得，两图像要有四个交点，则．

综上实数的取值范围是，故选B．

解法二：由于，方程等价于，

即依题意与图像有四个交点．

令，

当， 得．

当时 单调递增，当时， 单调递减，

当时，当时，

又当时，得，

当时， 单调递减，

当时， 单调递增，极小值为，

当时，当时，

所以与图像有四个交点时 故选B．