Question

（本小题满分12分）设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），      证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）

Answer 1

见解析

必要性：设数列是公差为的等差数列，则：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常数）（n=1，2，3，…）
∴数列为等差数列.
充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），
∵……①     ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③  从而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）
故……⑥
从而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常数）（n=1，2，3，…），
∴数列为等差数列.
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.