Question

3．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AB=BC，点M，N分别为PC，AC的中点．求证：
（1）直线PA∥平面BMN；
（2）平面PBC⊥平面BMN．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥PA，由此能证明直线PA∥平面BMN． 
（2）推导出BN⊥AC，从而BN⊥平面PAC，进而PC⊥BN，PC⊥MN，由此能证明平面PBC⊥平面BMN．

解答 证明：（1）∵点M，N分别为PC，AC的中点，
∴MN∥PA，…（2分）
又∵PA?平面BMN，MN?平面BMN，
∴直线PA∥平面BMN． …（6分）
（2）∵AB=BC，点N为AC中点，
∴BN⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BN?平面ABC，BN⊥AC，
∴BN⊥平面PAC，…（9分）
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BN，
由（1）可知：MN∥PA，
∵PA⊥PC，∴PC⊥MN，
∵PC⊥BN，PC⊥MN，BN∩MN=N，BN，MN在平面BMN内，
∴PC⊥平面BMN，…（12分）
∵PC?平面PAC，∴平面PBC⊥平面BMN．    …（14分）

点评 本题考查线面平行，面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．