Question

已知命题p：方程

x2

2

+

y2

1-k

=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：?x∈R，kx²+kx+k+1＞0．若“p∧q”与“?p”同时为假命题，求k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,椭圆的简单性质

专题：简易逻辑

分析：通过不等式恒成立求出q中k的范围；椭圆的焦点在x轴上求出k的范围，利用命题“p∧q”与“?p”同时为假命题，求出k的交集即可．

解答： 解：若命题p为真命题，即方程

x2

2

+

y2

1-k

=1表示焦点在x轴上的椭圆；
∴2＞1-k＞0
∴-1＜k＜1，
若命题q为真命题，即：?x∈R，kx²+kx+k+1＞0
当k=0时，不等式为1＞0；
当k≠0时，

k＞0 k2-4k(k+1)＜0

解得0＜k＜

4

3

总之，0≤k＜

4

3

，
∵“p∧q”与“?p”同时为假命题，
∴p为真命题，q为假命题；
∴

-1＜k＜1 k＜0或k≥ 4 3

∴-1＜k＜0

点评：本题考查复合命题的真假；考查椭圆方程及一元二次不等式的应用，属于一道基础题．