Question

5．给出下列结论：
①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；
②命题“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分不必要条件；
③数列{a_n}满足“a_n+1=3a_n”是“数列{a_n}为等比数列”的充分不必要条件．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根据全称命题的否定是特称命题进行判断，
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；故①正确，
②当α=$\frac{π}{6}$时，sinα=$\frac{1}{2}$成立，当α=$\frac{5π}{6}$时，满足sinα=$\frac{1}{2}$，但α=$\frac{π}{6}$不成立，
即命题“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分不必要条件；故②正确，
③当a_n=0时，数列{a_n}满足“a_n+1=3a_n”，但“数列{a_n}为等比数列”错误，即充分性不成立，
若数列{a_n}为等比数列，则数列的公比不一定是3，则a_n+1=3a_n，不一定成立，
即数列{a_n}满足“a_n+1=3a_n”是“数列{a_n}为等比数列”的既不充分不必要条件，故③错误，
故选：A

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．