Question

曲线y=x²与其在x=±1处的切线所围成的图形的面积是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图象，利用积分的几何意义即可求区域面积．

解答： 解：曲线y=f（x）=x²的导数f′（x）=2x，
则f′（1）=2，f′（-1）=-2，
则函数在x=1处的切点为（1，1），切线斜率k=f′（1）=2，则对应的切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，
函数在x=-1处的切点为（-1，1），切线斜率k=f′（-1）=-2，则对应的切线方程为y-1=-2（x+1），即y=-2x-1，
作出对应的图象为（阴影部分）：
则由积分以及函数的对称性可知，所围成的图形的面积S=2

∫

1 0

[x2-(2x-1)]dx=2[（

1

3

x3-x2+x）|

1 0

]=2×（

1

3

-1+1）=

2

3

，
故答案为：

2

3

点评：本题主要考查导数的几何意义以及积分的应用，要求熟练掌握相应的导数公式以及积分公式．