Question

15．已知等差数列{a_n}的公差不为零，其前n项和为S_n，a₂²=S₃，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁+a₅+a₉+…+a_4n-3，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差中项的性质可知a₂²=S₃=3a₂，从而a₂=3，利用S₁，S₂，S₄成等比数列可知（6-d）²=（3-d）[2（6+d）]，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知数列{a_4n-3}是首项为1、公差为8的等差数列，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a₂²=S₃=3a₂，即a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴${{S}_{2}}^{2}$=S₁S₄，即（6-d）²=（3-d）[2（6+d）]，
化简得：d²=2d，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（2）由（1）可知，a_4n-3=2（4n-3）-1=8n-7，
∴数列{a_4n-3}是首项为1、公差为8的等差数列，
∴T_n=a₁+a₅+a₉+…+a_4n-3
=$\frac{n（1+8n-7）}{2}$
=n（4n-3）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．