Question

4．求证：
（1）${C}_{n}^{m+1}$${÷C}_{n}^{m}$=$\frac{n-m}{m+1}$；
（2）${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+1}^{m}$${+C}_{m}^{m}$=${C}_{n}^{m+1}$．

Answer 1

分析 根据组合数的公式与性质，进行化简、运算即可．

解答 证明：（1）${C}_{n}^{m+1}$${÷C}_{n}^{m}$
=$\frac{n!}{（m+1）!•（n-m-1）!}$÷$\frac{n!}{m!•（n-m）!}$
=$\frac{m!•（n-m）!}{（m+1）!•（n-m-1）!}$
=$\frac{n-m}{m+1}$；
（2）${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+1}^{m}$${+C}_{m}^{m}$
=${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+（${C}_{m+1}^{m}$+${C}_{m+1}^{m+1}$）
=${C}_{n-1}^{m}$${+C}_{n-2}^{m}$${+C}_{n-3}^{m}$+…+${C}_{m+2}^{m+1}$
=…=${C}_{n-1}^{m}$+${C}_{n-1}^{m+1}$=${C}_{n}^{m+1}$．

点评 本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了计算与化简能力，是基础题目．