Question

【题目】如图，已知多面体的底面是边长为的菱形， ， ，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析: （1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．又ABCD是菱形，得BD⊥AC．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC．则EF⊥平面PAC．进一步得到平面PAC⊥平面PCE．

（2）由∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，得AC=2．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC．求出三角形PAC的面积证得EF是三棱锥E﹣PAC的高，利用P﹣ACE的体积等于E﹣PAC的体积求解.

解析:

（1）证明：连接，交于点，设中点为，

连接 ， ．

因为， 分别为， 的中点，

所以，且，

因为，且，

所以,且

所以四边形为平行四边形，所以，即．

因为平面， 平面，所以．

因为是菱形，所以．

因为,所以平面

因为,所以 平面

因为平面,所以平面平面

（2）因为，所以△是等边三角形，所以．

又因为平面， 平面， ．

因为面，所以是三棱锥的高，,

平面,

所以点到平面的距离