【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为﹣ ,求斜率k的值;
②若点M(﹣ ,0),求证:
为定值.
【答案】
(1)
解:因为 满足a2=b2+c2,
,
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ,可得
.
从而可解得 ,
所以椭圆方程为
(2)
解:①将y=k(x+1)代入 中,消元得(1+3k2)x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4(3k2+1)(3k2﹣5)=48k2+20>0,
因为AB中点的横坐标为 ,所以
,解得
②证明:由①知 ,
所以
= =
= =
=
【解析】(1)根据椭圆的离心率,三角形的面积及椭圆几何量之间的关系,建立等式,即可求得椭圆的标准方程;(2)①直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ,即可求斜率k的值;②利用韦达定理,及向量的数量积公式,计算即可证得结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0 , 2),(x0+
,﹣2).
(1)求函数y=f(x)的解析式和单调递增区间;
(2)若当0≤x≤ 时,方程f(x)﹣m=0有两个不同的实数根α,β,试讨论α+β的值.
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【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(﹣π<φ<0,ω>0)的图象关于直线 对称,且两相邻对称中心之间的距离为
.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间 上总有实数解,求实数k的取值范围.
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【题目】已知某算法的程序框图如图所示,若将输出(x,y)的值依次记(x1 , y1),(x2 , y2),…(xn , yn),
(1)若程序运行中输出的一个数组是(9,t),求t的值;
(2)程序结束时,共输出(x,y)的组数位多少.
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【题目】设函数f(x)=ax2+(b﹣2)x+3(a≠0)
(1)若不等式f(x)>0的解集(﹣1,3).求a,b的值;
(2)若f(1)=2,a>0,b>0求 +
的最小值.
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【题目】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N* .
(1)证明:数列{ }是等差数列;
(2)设bn=3n ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,且PA=AD.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求证:AE⊥平面PCD;
(3)设二面角D﹣AE﹣C为60°,且AP=1,求D到平面AEC的距离.
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【题目】一果农种植了1000棵果树,为估计其产量,从中随机选取20棵果树的产量(单位:kg)作为样本数据,得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中产量在区间(45,50]上的果树棵数为8,
(1)求频率分布直方图中a,b的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这20棵果树产量的中位数;
(3)根据频率分布直方图,估计这1000棵果树的总产量.
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