Question

11．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB⊥底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E，F，G分别是AB，OD，BC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面BOC；
（Ⅱ）证明：OD⊥平面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥G-EOF的体积．

Answer 1

分析 （I）取OC的中点H，连接FH，BH，根据中位线定理和平行公理可知四边形BEFH是平行四边形，故EF∥BH，于是EF∥平面BOC；
（II）连结DE，OE，DG，OG，通过勾股定理计算可知DE=OE=D=OG=$\sqrt{5}$，由三线合一得出OD⊥EF，OD⊥FG，于是OD⊥平面EFG；
（III）根据中位线定理计算EG，得出△EFG是边长为$\sqrt{5}$的正三角形，以△EFG为棱锥的底面，则OF为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （Ⅰ）证明：取OC的中点H，连接FH，BH，
∵F，H分别是OD，OC的中点，
∴FH$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，
又∵在正方形ABCD中，E是AB的中点，
∴EB$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EB$\underline{\underline{∥}}$FH，
∴四边形BEFH是平行四边形，
∴EF∥BH，又∵EF?平面BOC，BH?平面BOC，
∴EF∥平面BOC．
（Ⅱ）证明：连结DE，OE，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，
∴$DE=\sqrt{5}$
∵侧棱OB⊥底面ABCD，AB?面ABCD，
∴OB⊥AB
又∵OB=2，EB=1，∴$OE=\sqrt{5}$，
∴$DE=OE=\sqrt{5}$，∴△ODE是等腰三角形，
∵F是OD的中点，∴EF⊥OD．
同理DG=OG=$\sqrt{5}$，∴△ODG是等腰三角形，
∵F是OD的中点，∴FG⊥OD．
又∵EF∩FG=F，EF?平面EFG，FG?面EFG，
∴OD⊥平面EFG．
（Ⅲ）解：∵侧棱OB⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴OB⊥BD，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴BD=2$\sqrt{2}$，∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵F分别是OD的中点，∴$OF=\sqrt{3}$，
∵$DE=OE=\sqrt{5}$，EF⊥OD，$DG=DG=\sqrt{5}$，FH⊥OD，
∴$EF=\sqrt{2}$，$FG=\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，E，G是AB，BC的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，
∴三角形EFG是等边三角形，∴${S_{△EFG}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴V_G-OEF=V_O-EFG=$\frac{1}{3}{S}_{△EFG}•OF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定，棱锥的体积计算，根据线段的长度得出线段的位置关系是解题关键．属于中档题．