Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²（常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数h（x）=f（x）+16x+8在x∈[2，+∞） 时为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分a=0，a≠0两种情况进行讨论，利用奇偶函数的定义可作出判断；
（2）函数h（x）在x∈[2，+∞）时为增函数，等价于h′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．分离出参数a后转化为求函数的最值即可；

解答：解：（1）①当a=0时，f（x）=

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x³．
对任意x∈R，f（-x）=

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（-x）³=-

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x³=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
②当a≠0时，f（x）=

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x³+ax²（a≠0）．
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2a≠0，f（-1）-f（1）=-

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≠0．
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）函数h（x）在x∈[2，+∞）时为增函数，等价于h′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
h（x）=f（x）+16x+8=

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x³+ax²+16x+8，h′（x）=x²+2ax+16，
则h′（x）≥0，即x²+2ax+16≥0，
故2a≥-(x+

16

x

)在x∈[2，+∞）上恒成立，
∵-（x+

16

x

）≤-2

x• 16 x

=-8，当且仅当x=4时取等号，
∴2a≥-8，解得a≥-4，
故a的取值范围是[-4，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的判断，属中档题，奇偶性问题常用定义解决，恒成立问题常转化为函数最值．