Question

16．如图，已知椭圆C₁的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C₂的短轴为MN，且C₁、C₂的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．
（1）设$e=\frac{1}{2}$，求|BC|与|AD|的比值；
（2）若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆方程，联立即可求得A和B坐标，当$e=\frac{1}{2}$时，$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，分别用y_A、y_B表示A、B的纵坐标，$\frac{{|{BC}|}}{{|{AD}|}}=\frac{{2|{y_B}|}}{{2|{y_A}|}}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$；
（2）分类，当t=0时的l不符合题意，当t≠0时，当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，根据斜率公式求得t，由$\frac{{1-{e^2}}}{e^2}＜1$，即可椭圆离心率e的取值范围．

解答 解：（1）因为C₁、C₂的离心率相同，
故依题意可设${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，{C_2}：\frac{{{b^2}{y^2}}}{a^4}+\frac{x^2}{a^2}=1，（a＞b＞0）$．
设直线l：x=t（|t|＜a）分别和C₁、C₂的方程联立，
求得$A（t，\frac{a}{b}\sqrt{{a^2}-{t^2}}），B（t，\frac{b}{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}）$．
当$e=\frac{1}{2}$时，$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，分别用y_A、y_B表示A、B的纵坐标，
∴$\frac{{|{BC}|}}{{|{AD}|}}=\frac{{2|{y_B}|}}{{2|{y_A}|}}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$．
|BC|与|AD|的比值$\frac{3}{4}$；
（2）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，
即：$\frac{{\frac{b}{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}}}{t}=\frac{{\frac{a}{b}\sqrt{{a^2}-{t^2}}}}{t-a}$，解得$t=-\frac{{a{b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}=-\frac{{1-{e^2}}}{e^2}•a$．
因为|t|＜a，又0＜e＜1，
所以$\frac{{1-{e^2}}}{e^2}＜1$，解得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜e＜1$．
∴当$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜e＜1$时，存在直线l，使得BO∥AN，即离心率e的取值范围是$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，
∴椭圆离心率e的取值范围$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

点评 本题考查椭圆离心率的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．