Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞c}）$的长轴长为 4，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）过椭圆 C上的任意一点 P，向圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b）引两条切线l₁，l₂，若l₁，l₂的斜率乘积恒为定值，求圆 O的面积．

Answer 1

分析 （1）由a=2，利用椭圆的离心率即可求得c的值，由a，b和c的关系，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设切线方程．利用点到直线的距离公式及直线的斜率公式，即可求得r的值，求得圆O的方程．

解答 解：（1）依题意得2a=4，则a=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$c=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，{b^2}={a^2}-{c^2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
故椭圆 C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}^{2}}{4}=1$，y₀²=$\frac{4}{3}$-$\frac{{x}_{0}^{2}}{3}$，
设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），kx-y+y₀-kx₀=0，
∴$\frac{{|{{y_0}-k{x_0}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=r$，两边平方得$（{{x_0}^2-{r^2}}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+{y_0}^2-{r^2}=0$，
则${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{r^2}}}{{{x_0}^2-{r^2}}}=\frac{{-\frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{4}{3}-{r^2}}}{{{x_0}^2-{r^2}}}$，若l₁，l₂的斜率乘积恒为定值，
则$\frac{-\frac{1}{3}}{1}$=$\frac{\frac{4}{3}-{r}^{2}}{-{r}^{2}}$，解得r²=1，
∴圆O的面积为πr²=1，
圆O的面积1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，切线方程的求法，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．