Question

11．已知点M（x，y）为平面区域D：$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{y-\frac{1}{x}≤0}\\{y≥a，（0＜a＜1）}\end{array}\right.$内的一个动点，若z=$\frac{y+1}{x}$的最大值为3，则区域D的面积为（　　）

• A． ln2+$\frac{5}{8}$
• B． ln2-$\frac{1}{2}$
• C． ln2+$\frac{1}{8}$
• D． ln2-$\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由题意求得a值，然后利用定积分求面积．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{y-\frac{1}{x}≤0}\\{y≥a，（0＜a＜1）}\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（a，a），
z=$\frac{y+1}{x}$的最大值为P（0，-1）与A连线的斜率，等于${k}_{PA}=\frac{a+1}{a}=3$，则a=$\frac{1}{2}$．
∴区域D的面积为${∫}_{\frac{1}{2}}^{1}（x-\frac{1}{2}）dx{+∫}_{1}^{2}（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）dx$
=$（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x）{|}_{\frac{1}{2}}^{1}+（lnx-\frac{1}{2}x）{|}_{1}^{2}$=$-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+ln2-1-ln1+\frac{1}{2}=ln2-$$\frac{3}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．