Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，，为棱上的动点.

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）若平面平面ABC，且是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连交与，连，为中点，结合已知可得，即可证明结论；

（2）根据已知可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知确定坐标，假设满足条件的点存在，设，求出平面的法向量坐标，取平面一个法向量为，按照空间向量的面面角公式，建立的方程，求解即可得出结论.

（1）连交与，连，

四边形为平行四边形，为中点，

又为的中点，平面，

平面，平面；

（2）平行四边形为菱形，，

又平面平面ABC，平面平面，

平面，

过点作的平行线，即两两互相垂直，

以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

，

故

，

假设存在点，使二面角的平面角的余弦值为，

设，

，

平面一个法向量为，

设平面的法向量为，

，即，

令，则，

由，

整理得或，

解得舍去）或，

，

满足条件的点存在，且.