Question

4．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：AF⊥面EDP；
（2）设异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，证明$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{ED}$=0，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DP}$=0，即可证明AF⊥面EDP；
（2）M（0，y，2），从而可求出$\overrightarrow{EM}$=（-1，y，2），$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），由cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EM}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，对函数f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．

解答 （1）证明：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0），D（0，2，0），P（0，2，2）
∴$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），$\overrightarrow{ED}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{ED}$=0，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DP}$=0，
∴AF⊥ED，AF⊥DP，
∵ED∩DP=D，
∴AF⊥面EDP；
（2）解：M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，y，2），$\overrightarrow{AF}$=（2，1，0），
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{EM}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$；
设f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，f′（y）=$\frac{-2y-5}{\sqrt{5}（{y}^{2}+5）\sqrt{{y}^{2}+5}}$
函数g（y）=-2y-5是一次函数，且为减函数，g（0）=-5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上单调递减；
∴y=0时，f（y）取到最大值$\frac{2}{5}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．