Question

2．设正数列{a_n}的前{a_n}项和为n，且2$\sqrt{S_n}$=a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列b_n=$\frac{{{a_n}+3}}{2}$，设T_n为数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项的和，求T_n．
（3）若T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，利用数列的性质，推导出$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，a₁=1，从而得到S_n=n²，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n的通项公式，再根据列项求和即可求出求T_n．
（3）将λ分离出来得λ≥$\frac{n}{2（{n}^{2}+4n+4）}$，利用基本不等式即可求出．

解答 解：（1）∵正数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2$\sqrt{S_n}$-1，
∴S_n=S_n-1+a_n=S_n-1+2$\sqrt{S_n}$-1，
∴S_n-1=（$\sqrt{S_n}$-1）²，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
∵a₁=2$\sqrt{{a}_{1}}$+1，解得a₁=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+n-1=n，
∴S_n=n²，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{{a_n}+3}}{2}$=$\frac{2n-1+3}{2}$=n+1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$
（3）T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，
∴$\frac{n}{2n+4}$≤λ（n+2），
∴λ≥$\frac{n}{2（{n}^{2}+4n+4）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+4}$≥$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}}$$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+4}$=$\frac{1}{16}$，当且仅当n=2时取等号，
故实数λ的最小值为$\frac{1}{16}$

点评 本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．