已知函数在处存在极值.
(1)求实数的值;
(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;
(3)当时,讨论关于的方程的实根个数.
(1) .(2)的取值范围是.(3)①当或时,方程有两个实根;②当时,方程有三个实根;③当时,方程有四个实根.
解析试题分析:(1)求导得,将代入解方程组即得.(2) 由(1)得根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设.接下来根据大于等于1和小于1分别求解.(3)由方程
知,显然0一定是方程的根,所以仅就时进行研究,这时方程等价于,构造函数,利用导数作出的图象即可得方程的要的个数.
试题解析:(1)当时,. 1分
因为函数在处存在极值,所以
解得. 4分
(2) 由(I)得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设.
若,则,
由是直角得,,即,
即.此时无解; 6分
若,则. 由于AB的中点在轴上,且是直角,所以B点不可能在轴上,即. 同理有,即,.
因为函数在上的值域是,
所以实数的取值范围是. 8分
(3)由方程,知,可知0一定是方程的根, 10分
所以仅就时进行研究:方程等价于
构造函数
对于部分,函数的图像是开口向下的抛物线的一部分,
当时取得最大值,其值域是;
对于部分,函数,由,
知函数在上单调递增.
所以,①当或时,方程有两个实根;
②当时,方程有三个实根;
③当时,方程有四个实根. 14分
考点:1、导数的应用;2、方程的根.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a>0,函数f(x)=ax2-ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=时,证明:方程f(x)=f 在区间(2,+∞)上有唯一解.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)若曲线经过点,曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
(2)在(1)的条件下,试求函数(为实常数,)的极大值与极小值之差;
(3)若在区间内存在两个不同的极值点,求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的图像过坐标原点,且在点处的切线的斜率是.
(1)求实数的值;
(2)求在区间上的最大值;
(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2013·重庆卷)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(1)当时,求函数的极小值;
(2)当时,过坐标原点作曲线的切线,设切点为,求实数的值;
(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时,若在内恒成立,则称为函数的“转点”.当时,试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=,x∈(1,+∞).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
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