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已知函数处存在极值.
(1)求实数的值;
(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;
(3)当时,讨论关于的方程的实根个数.

(1) .(2)的取值范围是.(3)①当时,方程有两个实根;②当时,方程有三个实根;③当时,方程有四个实根.

解析试题分析:(1)求导得,将代入解方程组即得.(2) 由(1)得根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设.接下来根据大于等于1和小于1分别求解.(3)由方程
,显然0一定是方程的根,所以仅就时进行研究,这时方程等价于,构造函数,利用导数作出的图象即可得方程的要的个数.
试题解析:(1)当时,.      1分
因为函数处存在极值,所以
解得.      4分
(2) 由(I)得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设.
,则
是直角得,,即
.此时无解;      6分
,则. 由于AB的中点在轴上,且是直角,所以B点不可能在轴上,即. 同理有,即.
因为函数上的值域是
所以实数的取值范围是.      8分
(3)由方程,知,可知0一定是方程的根, 10分
所以仅就时进行研究:方程等价于
构造函数
对于部分,函数的图像是开口向下的抛物线的一部分,
时取得最大值,其值域是
对于部分,函数,由
知函数上单调递增.
所以,①当时,方程有两个实根;
②当时,方程有三个实根;
③当时,方程有四个实根.       14分
考点:1、导数的应用;2、方程的根.

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(Ⅰ)求函数的单调区间;
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