Question

13．已知函数f（x）=e^x-ax-1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若函数f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）通过f（x）=e^x-ax-1，可得f′（x）=e^x-a，结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；
（2）一方面，由题意及（1）知当a＞0时，f_min（x）=f（lna）=a-alna-1≥0，另一方面通过研究g（a）=a-alna-1 （a＞0）的单调性得g（a）≤g（1）=0，所以g（a）=0，解得a=1．

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-ax-1，∴f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）由题意及（1）知当a＞0时，f_min（x）=f（lna），
∴f（lna）≥0，即a-alna-1≥0，
记g（a）=a-alna-1 （a＞0），则g（a）≥0，
令g′（a）=1-（lna+1）=-lna=0，解得a=1，
∴g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）≤g（1）=0，
故g（a）=0，解得a=1．

点评 本题考查函数的单调性，最值，构造新函数并研究其单调性是解决本题的关键，属于中档题．