Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），动点M在y轴上的射影为N，且满足2•

MF1

•

MF2

=

MN

²
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）A，B是轨迹C上的两点，AB中点S的横坐标为1，求|AB|的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设出M的坐标，求出向量

MF1

，

MF2

，

MN

的坐标，代入2•

MF1

•

MF2

=

MN

²求得动点M的轨迹C的方程；
（2）求出椭圆的右焦点坐标，离心率e=

2

2

和右准线方程，设点A，B及中点S在右准线上的射影分别为A₁，B₁，S₁，则|SS₁|=3，然后由向量模间的关系求得|AB|的最大值，再设S（1，y₀），A （x₁，y₁），
B（x₂，y₂），由点差法求得AB的斜率，再由kAB=kSF2求得S的纵坐标，则直线方程可求．

解答： 解：（1）设M（x，y），
又F₁（-2，0），F₂（2，0），
则

MF1

=(-2-x，-y)，

MF2

=(2-x，-y)．
由2•

MF1

•

MF2

=

MN

²可得2[（x+2）（x-2）+y²]=x²，
化简得x²+2y²=8，即动点M的坐标满足于方程

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的右焦点为（2，0），离心率e=

2

2

，右准线为：x=4
设点A，B及中点S在右准线上的射影分别为A₁，B₁，S₁，则|SS₁|=3，
|AA₁|+|BB₁|=2|SS₁|=6，|AF2|+|BF2|=e(|AA1|+|BB1|)=3

2

，
|AB|≤|AF2|+|BF2|=3

2

，当AB过右焦点时取等号，
∴|AB|的最大值是3

2

，此时，AB过右焦点（2，0），
设S（1，y₀），A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x12+2y12=8，x22+2y22=8，
两式相减，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
将x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀代入上式，可得 （x₁-x₂）+2y₀（y₁-y₂）=0，
由|AB|=3

2

知y₀≠0，x₁≠x₂，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2y0

，
又kAB=kSF2=

y0

1-2

=-y0，
∴y02=

1

2

，y0=±

2

2

．
当y0=

2

2

时，kAB=-

2

2

，
直线方程为x+

2

y-2=0；
当y0=-

2

2

时，kAB=

2

2

，
直线方程为x-

2

y-2=0

点评：本题考查了椭圆分析的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，关键是向量的模的运算，着重体现了设而不求的解题思想方法，是压轴题．