Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

(a＞b＞0)右焦点F是抛物线C2：y2=2p

x

(p＞0)的焦点，M(

2

3

，m)是C₁与C₂在第一象限内的交点，且|MF|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁与C₂的方程；
（Ⅱ）设A（0，t）（t＞0）为y轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C₁的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由抛物线定义及|MF₂|=

5

3

，求出p的值，将点M的坐标代入抛物线方程，进而求其坐标，再由椭圆焦点为F（1，0），又过M点，用待定系数法求出椭圆方程；
（Ⅱ）由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率，求出直线l的斜率，写出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，写出判别式后由t的范围得到判别式的符号，从而直线和椭圆的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）∵点M(

2

3

，m)在抛物线上，且|MF2|=

5

3

，抛物线准线为x=-

p

2

，
∴

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
点M(

2

3

，m)代入y²=4x得m=

2 6

3

，
所以点M(

2

3

，

2 6

3

)，
由它在椭圆上及椭圆右焦点为F（1，0）
得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 由k_AF=-t得kl=

1

t

，
则直线l的方程为y=

1

t

x+t，即x=t（y-t），代人椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3t²+4）y²-6t³y+3t⁴-12=0
则△=36t⁶-4（3t²+4）（3t⁴-12）=-48（t²+1）（t+2）（t-2）
∵t＞0，∴t+2＞0，t²+1＞0
∴当0＜t＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C₁相交；
当t=2时，△=0，此时直线l与椭圆C₁相切；
当t＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C₁相离．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．