Question

给出下列命题：
①在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③若一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：①举例说明正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点；
②举例说明底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥；
③举例说明四棱柱中有两个侧面垂直于底面，该四棱柱不一定为直四棱柱；
④举例说明一个棱锥不能有两条侧棱和底面垂直；
⑤举例说明所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体．

解答： 解：对于①，在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点，
正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四面体A-CB₁D₁，∴①正确；
对于②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如底面△ABC为等边三角形，且AB=VB=VC=BC=AC，
则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；∴②错误；
对于③，一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，该四棱柱不一定为直四棱柱，
必须是相邻的两个侧面才是直四棱柱，∴③错误；
对于④，一个棱锥如果有两条侧棱和底面垂直，则这两条侧棱互相平行，∴④错误；
对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体，∴⑤错误．
综上，正确的命题是①．
故答案为：①．

点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了正四面体、正三棱锥、正方体、正四棱柱、棱锥的有关概念问题，是综合题目．