Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的极值点为x=-

2

3

和x=1
（1）求b，c的值与f（x）的单调区间
（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）对函数进行求导，令f'（1）=0，f'（-

2

3

）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可．
（2）根据函数的单调性求出f（x）在[-1，2]上的最大值，继而求出m的范围

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）的极值点为x=-

2

3

和x=1
∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（-

2

3

）=

4

3

-

4

3

b+c=0，
解得，b=-

1

2

，c=-2，
∴f'（x）=（3x+2）（x-1），
当f'（x）＞0时，解得x＜-

2

3

，或x＞1，
当f'（x）＜0时，解得-

2

3

＜x＜1，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），单调减区间为（-

2

3

，1），
（2）有（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x，x∈[-1，2]，
故函数在[-1，-

2

3

）和（1，2]单调递增增，在（-

2

3

，1）单调递减，
当x=-

2

3

，函数有极大值，f（-

2

3

）=

22

27

，f（2）=2，
所以函数的最大值为2，
所以不等式f（x）＜m在x∈[-1，2]时恒成立，
故m＞2
故实数m的取值范围为（2，+∞）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值与导函数之间的关系．属中档题