Question

【题目】已知数列 的前 项和为 ， ．
（Ⅰ）求 ，猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）设 ，求证：数列 中任意三项均不成等比数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求出 ，猜想 ，数学归纳法证明：

（ⅰ）当 时，猜想成立；

（ⅱ）假设当 时，猜想成立，即

当 时，

∴当 时，猜想也成立

综上，对一切 ， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．

假设数列 中存在三项 （ 互不相等）成等比数列，

则 ．即 ．

∴ ∵ ，

∴ ∴ ， ，∴ ．

与 矛盾．

所以数列 中任意不同的三项都不可能成等比数列

【解析】（1）先由已知归纳猜想出一般结论，再用数学归纳法证明。
（2）证明数列是等比数列或不是等比数列，都得紧扣定义，这里用反证法。
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的定义的相关知识，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．