Question

【题目】定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明事由．

（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）为“局部奇函数”；（2）；（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数，可得结论；

（Ⅱ）若是定义在上的“局部奇函数”，则有解，即可求解实数的取值范围；

（Ⅲ）若是定义域上的“局部奇函数”，则有解，使用换元法和根据二次函数的性质，即可得到实数的取值范围；

试题解析：

（1）当，方程即，

，所以为“局部奇函数”．

（2）法一：当时，可化为，

∵有定义域为，所以方程在有解，

令，则，

∵在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，，即，

∴．

法二：当时，可化为，

令，则关于的二次方程在上有解即可，

保证为“局部奇函数”，设．

①当方程在上只有一解时，

须满足在或，

解得或舍去，

因为此时方程在区间有两解，不符合这种情况．

②当方程在上有两个不相等实根时，

须满足，

解得，∴．

（3）当为定义域上的“局部奇函数”时，，

可化为，

令，则，，

从而在有解，即可保证为“局部奇函数”

令，则

①时，在有解，

即，解得．

②当，在有解等价于，

，解得．

综上，，

∴的取值范围是．