Question

【题目】已知函数 .
（Ⅰ）若函数 有极值，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 有两个极值点（记为 和 ）时，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得 ，且有

在方程 中，

①当 ，即 时， 恒成立

此时 在 上单调递增，∴函数 无极值；

②当 ，即 时，方程 有两个不相等的实数根：

，

且∵ ，∴

∵当 或 时， ；当 时，

∴函数 在 上单调递减

在 和 上单调递增.

∴函数 存在极值

综上得：当函数 存在极值时，实数 的取值范围是

（Ⅱ）∵ ， 是 的两个极值点，故满足方程

即 ， 是 的两个解，∴

∵

而在 中，

欲证原不等式成立，只需证明

∵ ，只需证明 成立

即证 成立

令 ，则

当 时， ，函数 在 上单调递增；

当 时， ，函数 在 上单调递减；

因此 ，故 ，即 成立得证

【解析】（1）对于含参数的函数求出导函数，得到含参导方程，讨论方程实根得到有极值时参数a的范围。
（2）证明与极值点有关的不等式，利用极值点是导方程的实根，将a消去从而将不等式转化为不含a的不等式，再通过求导用单调性结合最值证明所得不等式。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．