Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．

（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，

∴PM为△ADD1的中位线，得PM=1，

又∵MN⊥BD，

∴ ，

∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，

∴MN∥AC，

又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，

在△PMN中，∠PMN为直角， ，

∴ ．

即异面直线PN与A1C1所成角的大小为

（2）解： ， ，

代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为

【解析】（1）由已知易得M点为AD中点，MN//A1C1，∠PNM即为所求异面直线所求角或其补角，再在三角形PNM中求解.
（2） VP BMN = PM MN BN，代入数据即得三棱锥P﹣BMN的体积.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．