Question

已知函数f(x)＝log₄(ax²＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)∵f(1)＝1，∴log₄(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log₄(－x²＋2x＋3)．

由－x²＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x²＋2x＋3.

则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

又y＝log₄x在(0，＋∞)上递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax²＋2x＋3应有最小值1，因此应有

解得a＝.

故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.