Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点为F₁，F₂，P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF₁F₂中，记∠F₁PF₂=α，∠PF₁F₂=β，∠F₁F₂P=γ，求

sinα

sinβ+sinγ

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，进而根据正弦定理分别求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的关系，即可得出结论．

解答： 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠PF₁F₂=β，∠PF₁F₂=γ，
∴∠F₁PF₂=180°-γ-β
∴sinα=sin（γ+β）
由正弦定理可得

m

sinβ

=

2c

sinα

，

n

sinγ

=

2c

sinα

∴m=

2csinβ

sinα

，n=

2csinγ

sinα

根据椭圆的定义可知m+n=2a，∴

2c(sinβ+sinγ)

sinα

=2a，
∴

sinα

sinβ+sinγ

=

c

a

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用及解三角形问题．解题的关键是充分利用椭圆的定义，找到三角形三边的关系，进而通过正弦定理转化成三角函数的化简．