Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，AC=2

2

，AA=1，D为BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求三棱锥B-AC₁D的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，由已知条件推导出OD∥A₁B，由此能证明A₁B∥面ADC₁；
（2）利用转换底面，即可求三棱锥B-AC₁D的体积．

解答： （1）证明：连接A₁C交AC₁于点O，连接OD，
∵O、D分别为A₁C、BC的中点，
∴OD∥A₁B且OD=

1

2

A1B，
又∵OD?面ADC₁且A₁B?面ADC₁
∴A₁B∥面ADC₁．（6分）
（2）解：∵AB=BC=2，AC=2

2

，∴∠ABC=90°．
又∵D为BC的中点，∴BD=1，
∴S_△ABD=

1

2

AB•BD=1．
∵AA₁=1，∴CC₁=1，
∴VB-AC1D=VC1-ABD=

1

3

S△ABD•C1C=

1

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查锥体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．