Question

【题目】已知圆的圆心为，且截轴所得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）设圆与轴正半轴的交点为，过分别作斜率为的两条直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【试题分析】（1）设圆的半径为，利用弦长和勾股定理，列方程可求得半径为，进而求得圆的方程.（2）在圆方程中，令求得点坐标.写出直线的方程，联立直线方程和圆的方程求得点的坐标，同理求得点的坐标，求出直线的斜率，从而得到直线的方程，化简整理后可得定点为.

【试题解析】

（1）设圆的半径为，则，所以，

所以圆的方程为.

（2）在中，令得，解得或，所以

设， ，直线的方程为，

由，得，

所以，即，

所以

所以，因为，所以，

用代替，得，所以

故直线的方程为.

整理得

即，所以直线恒过一定点，定点为.