Question

已知f（e^x）=x²-2x+3，x∈[2，3]
（1）求f（x）的解析式和定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先使用换元法求函数的解析式，进一步求函数的定义域
（2）由（1）的结论，利用函数的单调性求函数的值域．

解答： 解：（1）解：f（e^x）=x²-2x+3   ①
设e^x=t则x=lnt，代入①式得f（t）=（lnt）²-2lnt+3，
∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3，
又x∈[2，3]，可得t=e^x∈[e²，e³]，则函数的定义域：[e²，e³]
（2）由（1）得，x∈[e²，e³]，即有lnx∈[2，3]，
∴f（x）=（lnx）²-2lnx+3=（lnx-1）²+2，函数f（x）在lnx∈[2，3]是单调递增函数．
当x=e²时，f（x）_min=3，
当x=e³时，f（x）_max=6，
故答案为：（1）f（x）=（lnx）²-2lnx+3  x∈[e²，e³]，
（2）当x=e²时，f（x）_min=3；当x=e³时，f（x）_max=6．

点评：本题考查的知识点：换元法在求解析式中的应用，求函数的定义域，利用函数的单调性进行求函数的值域及相关的运算．