【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为,的极大值为,无极小值;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间和极值;(2)先分离变量,转化为对应函数最值,再利用导数求对应函数最值,即得结果,(3)利用(2)得,即得,再利用放缩以及裂项相消法求和,即得结果.
解:(1)∵,其定义域为,
∴,
令,得,
令,得.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
的极大值为,无极小值.
(2)∵,,
∴,令,
则,
令,解得.
当在内变化时,,的变化情况如下表:
+ | 0 | - | |
由表知,当时,函数有最大值,且最大值为,∴,
∴实数的取值范围为.
(3)由(2)知,,
∴,
∴.
∵
,
∴,
即.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为调查某校学生每周课外阅读的情况,采用分层抽样的方法,收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据(单位:小时).根据这100个数据,制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图(如图).
(1)估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图知,该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
①求;
②若该校共有10000名学生,记每周课外阅读时间在区间的人数为,试求.
参数数据:,若,,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(题文)(题文)已知椭圆的左右顶点分别为,,右焦点的坐标为,点坐标为,且直线轴,过点作直线与椭圆交于,两点(,在第一象限且点在点的上方),直线与交于点,连接.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线的斜率为,直线的斜率为,问:的斜率乘积是否为定值,若是求出该定值,若不是,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性,对某公司的该产品的销量与价格进行了统计分析,得到如下数据和散点图:
定价x(元/kg) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年销量y(kg) | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
z=21ny | 14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
(参考数据:,,
,)
(Ⅰ)根据散点图判断,y与x和z与x哪一对具有的线性相关性较强(给出判断即可,不必说明理由)?
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动圆P恒过定点,且与直线相切.
(Ⅰ)求动圆P圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两点C、D在轨迹M上,求正方形的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在中,已知,M是BC的中点.
(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且,求的最小值;
(3)若点P是边BC上的一点,且,求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程(本题满分10分)
在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)已知点在第一象限,四边形是曲线的内接矩形,求内接矩形周长的最大值,并求周长最大时点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,现有如下四个结论:
;平面;
三棱锥的体积为定值;异面直线所成的角为定值,
其中正确结论的序号是______.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com