Question

12．“sinα-cosα=$\frac{1}{3}$”是“sin2α=$\frac{8}{9}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据三角函数的关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：由sinα-cosα=$\frac{1}{3}$平方的得1-2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
即sin2α=$\frac{8}{9}$，即充分性成立，
当sin2α=$\frac{8}{9}$时，|sinα-cosα|=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
则sinα-cosα=$\frac{1}{3}$或sinα-cosα=-$\frac{1}{3}$，即必要性不成立，
则“sinα-cosα=$\frac{1}{3}$”是“sin2α=$\frac{8}{9}$”充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的关系式进行转化求解是解决本题的关键．