Question

【题目】如图，四棱锥中，，，，，为等边三角形，是棱上一点.

（1）证明：；

（2）若平面，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点为，连结， ，通过证明平面，可得；

（2）过作，设，连，，利用直线与平面平行的性质定理可得，又，所以四边形为平行四边形，所以、分别为、的中点，再通过计算可得，从而可得到平面的距离为，然后根据体积公式可得结果.

（1）取中点为，连结， .

因为为等边三角形，，

因为，所以，

又因为，

所以四边形为平行四边形，

因为，所以四边形为矩形，即，

因为且平面，平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）过作，设，连，，则四边形为平面四边形，

因为平面，所以，

因为，，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，又，所以，

所以为的中位线，即、分别为、的中点，

由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，

作于点，因为平面平面，所以平面，

因为为等边三角形且，点为的中点，所以，

在中，因为，所以，

所以，所以，即，

所以到平面的距离为，

所以.